首页 >> 行业资讯 > 严选问答 >

等比数列前n项和公式

2025-07-11 08:40:20

问题描述:

等比数列前n项和公式,急!求大佬出现,救急!

最佳答案

推荐答案

2025-07-11 08:40:20

等比数列前n项和公式】在数学中,等比数列是一种重要的数列类型,其特点是每一项与前一项的比值为常数。等比数列的前n项和公式是学习等比数列时必须掌握的核心内容之一。本文将对等比数列前n项和公式进行总结,并以表格形式清晰展示相关知识点。

一、等比数列的基本概念

- 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的比都是同一个常数,那么这个数列叫做等比数列。

- 公比(r):等比数列中相邻两项的比值称为公比。

- 首项(a₁):数列的第一项。

- 第n项(aₙ):数列的第n项,可以用公式表示为:

$$

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

$$

二、等比数列前n项和公式

当已知等比数列的首项 $ a_1 $ 和公比 $ r $ 时,可以使用以下公式求出前n项的和 $ S_n $:

当 $ r \neq 1 $ 时:

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

当 $ r = 1 $ 时:

由于所有项都相等,此时前n项和为:

$$

S_n = a_1 \cdot n

$$

三、公式推导简述

等比数列前n项和公式的推导可以通过错位相减法实现:

设:

$$

S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots + a_1r^{n-1}

$$

两边同时乘以公比 $ r $:

$$

rS_n = a_1r + a_1r^2 + \cdots + a_1r^n

$$

用原式减去新式:

$$

S_n - rS_n = a_1 - a_1r^n

$$

即:

$$

S_n(1 - r) = a_1(1 - r^n)

$$

因此:

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

四、典型例题解析

题目 已知条件 公式应用 结果
1 首项 $ a_1 = 2 $,公比 $ r = 3 $,求前5项和 $ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} $ $ S_5 = 242 $
2 首项 $ a_1 = 5 $,公比 $ r = 1 $,求前7项和 $ S_7 = 5 \cdot 7 $ $ S_7 = 35 $
3 首项 $ a_1 = 1 $,公比 $ r = \frac{1}{2} $,求前6项和 $ S_6 = 1 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^6}{1 - \frac{1}{2}} $ $ S_6 = \frac{63}{32} $

五、常见误区提醒

- 注意公比是否为1:若公比为1,不能使用通用公式,应直接计算 $ S_n = a_1 \cdot n $。

- 避免计算错误:尤其是指数运算部分,如 $ r^n $ 的计算要准确。

- 单位统一:在实际问题中,要注意单位的一致性,确保结果合理。

六、总结表格

项目 内容
定义 每一项与前一项的比为常数的数列
公比 $ r $,相邻两项的比值
首项 $ a_1 $,数列的第一项
第n项公式 $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
前n项和公式 $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $($ r \neq 1 $)
$ S_n = a_1 \cdot n $($ r = 1 $)
推导方法 错位相减法
注意事项 公比是否为1;指数计算准确性

通过以上总结可以看出,等比数列前n项和公式是解决相关问题的重要工具。掌握其推导过程和应用场景,有助于提高解题效率和数学思维能力。

  免责声明:本答案或内容为用户上传,不代表本网观点。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并请自行核实相关内容。 如遇侵权请及时联系本站删除。

 
分享:
最新文章
  • 【等比数列前n项和公式】在数学中,等比数列是一种重要的数列类型,其特点是每一项与前一项的比值为常数。等比...浏览全文>>
  • 【等比数列常用公式是什么】等比数列是数学中常见的数列类型,广泛应用于数学、物理、经济等领域。理解其常用...浏览全文>>
  • 【等比例缩放快捷键】在使用图像处理软件、设计工具或办公软件时,常常需要对图形、图片或对象进行缩放操作。...浏览全文>>
  • 【等比定理可以逆用吗】在数学中,等比定理是一个常见的比例关系定理,常用于几何和代数中。它通常表述为:如...浏览全文>>
  • 【蹬踏跨步方法】在武术、体能训练以及日常运动中,“蹬踏跨步” 是一种常见的移动方式,广泛应用于格斗、跑...浏览全文>>
  • 【蹬鼻子上脸造句】在日常生活中,成语和俗语是语言表达中非常重要的组成部分,它们不仅丰富了我们的语言表达...浏览全文>>
  • 【登封在哪个位置】登封市位于中国河南省中部,是郑州市下辖的一个县级市。作为历史文化名城,登封不仅拥有丰...浏览全文>>
  • 【登封在哪个省】登封,是一座历史悠久的城市,位于中国河南省。它因嵩山而闻名,是中华文明的重要发源地之一...浏览全文>>
  • 【登封属于县还是市】在了解一个地方的行政归属时,常常会遇到一些混淆。比如“登封属于县还是市”这个问题,...浏览全文>>
  • 【登封市离郑州市多远】登封市与郑州市之间的距离是很多人关心的问题,尤其是在出行、旅游或工作安排时。登封...浏览全文>>