【频数的样本方差公式】在统计学中，样本方差是衡量一组数据与其平均值之间差异程度的重要指标。当数据以“频数”的形式出现时，即每个数值出现的次数被记录下来，计算其样本方差需要采用特定的公式。以下是对“频数的样本方差公式”的总结与说明。
一、基本概念
- 频数（Frequency）：某一数值在数据集中出现的次数。
- 样本方差（Sample Variance）：反映样本数据离散程度的统计量，用于估计总体方差。
二、频数数据的样本方差公式
当数据以频数形式给出时，样本方差的计算公式如下：
$$
s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2
$$
其中：
- $ s^2 $：样本方差
- $ n $：总样本数，$ n = \sum_{i=1}^{k} f_i $
- $ k $：不同数值的个数
- $ f_i $：第 $ i $ 个数值的频数
- $ x_i $：第 $ i $ 个数值
- $ \bar{x} $：样本均值，$ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{n} $
三、计算步骤
1. 计算每个数值的频数 $ f_i $ 和对应的数值 $ x_i $。
2. 计算样本均值 $ \bar{x} $。
3. 对每个 $ x_i $，计算 $ (x_i - \bar{x})^2 $。
4. 将 $ (x_i - \bar{x})^2 $ 乘以对应的频数 $ f_i $。
5. 将所有结果相加，再除以 $ n - 1 $ 得到样本方差。
四、示例表格
| 数值 $ x_i $ | 频数 $ f_i $ | $ x_i \times f_i $ | $ x_i - \bar{x} $ | $ (x_i - \bar{x})^2 $ | $ f_i \times (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 10 | 2 | 20 | -5 | 25 | 50 |
| 15 | 3 | 45 | 0 | 0 | 0 |
| 20 | 5 | 100 | 5 | 25 | 125 |
| 合计 | 10 | 165 | 175 |
- 样本均值 $ \bar{x} = \frac{165}{10} = 15 $
- 样本方差 $ s^2 = \frac{175}{10 - 1} = \frac{175}{9} \approx 19.44 $
五、注意事项
- 当数据为分组数据时，通常使用组中值代替实际数值进行计算。
- 若需计算总体方差，则公式中的分母应为 $ n $ 而不是 $ n - 1 $。
- 在实际应用中，建议使用统计软件或计算器来简化复杂计算。
通过以上方法，可以准确地计算出频数数据的样本方差，从而更好地理解数据的分布特征和波动情况。